Fråga en forskare - Matematik

Har du frågor om matematik? Fråga en forskare!
Tidigare frågor och deras svar ser du här nedan.

Mejla din fråga till fragaenforskare@liu.se  tavla med matematiska utr‰kningarFoto: JordiDelgado

Har stött på ett problem och skulle vilja ha ett svar. Det gäller division med flera divisionstecken. "/" alltså. Jag har lärt mig att om det är 3 termer så utgör de två högra den kvot som först ska räknas ut. Ett exempel: 1/2/3 = 1/(2/3) = 1.5. [Egentligen står det väl implicit( 1/1)/(2/3)?]. Enligt andra ska det vara prioriterat från vänster till höger, dvs (1/2)/3 = 1/6. Min version stöds ju av att acceleration a uttrycks som förändring i hastighet per tidsenhet, exempelvis a = (m/s) /s eller som det då blir m / s^2. Så vad blir då 1/2/3? /Michael Sjögren

Det finns inget vedertaget sätt att tolka uttryck med flera "/". Där behövs alltid parenteser. Utan parenteser blir det bara misstolkningar. 1/2/3 betyder ingenting. Exemplet med accelerationen skulle snarare stödja prioriteringen från vänster: (m/s)/s = m/s^2. Men, som sagt, parenteser krävs. Hoppas det hjälper! / Jana Björn, professor vid Matematiska institutionen

Om det är så att ett större tal delat med ett mindre måste ge ett resultat större än 1 (eftersom det mindre talet är delmängd i det större) följer att -4 är större än -2 eftersom -4/-2 är större än 1. Men om -4 vore större än -2 följer ju också orimligheten att 0 är större än 2 vilket visas genom addition av 4 i båda leden av olikheten. Hur skall man tolka denna motsägelse? / Håkan Svenbro

Den regel som du använder, nämligen att: om a/b>1, så är a>b, gäller bara om b>0. Man visar detta genom att multiplicera båda leden med b och utnyttjar då att olikheter bevaras då man multiplicerar med ett positivt tal. Om b < 0,="" gäller="" i="" stället:="" om="" a/b="">1, så är b>a. Denna regel följer från den första om man multiplicerar båda leden med det positiva talet -b.

Det är alltså inget konstigt med att -4/-2>1, men -2>-4. / Bengt Ove Turesson


Jag har ett vagt minne av att man använde såpbubblor för att planera den optimalt kortaste sträckan för en motorväg mellan fyra städer i England. Någon som känner till detta och kan förklara fysiken bakom? / Stefan

Det problem som du beskriver hänger ihop med det så kallade Steinerträdsproblemet, dvs problemet att finna ett billigaste uppspännande träd (=minimalträd), då vissa noder måste kopplas samman medan andra kan väljas att tas med om de gör att totalkostnaden sänks. De valbara noderna kan vara ändligt många eller fler, tex alla punkter i planet. En lättillgänglig och bra förklaring finns i det här YouTube-klippet: https://www.youtube.com/watch?v=dAyDi1aa40E

Mina fysikkunskaper är rostiga, men det handlar om att naturen brukar ställa in tillståndet för ett system så att någon energi minimeras. I det här fallet bör filmen av såpvatten ställa in sig så att den upplagrade energin i såpfilmen minimeras (åtminstone lokalt). Jag skulle tro att detta energiminimeringsproblem och Steinerträdsproblemet är ekvivalenta och att första ordningens optimalitetsvillkor beskriver geometrin för ett (lokalt) optimalt Steinerträd. / Torbjörn Larsson, professor i optimeringslära


Heltalen är oändligt många. De rationella talen är lika oändligt många. Men de irrationella talen är fler än så. Är de komplexa talen ännu fler? Hur kan oändligheter vara olika stora? Hur många oändliga storlekar finns det? (Och hur vet man det?) / Thomas Ålander


Det är lite komplicerat, men jag ska försöka vara tydlig och inte allt för långrandig. När man ska jämföra storleken på två ändliga mängder kan man räkna element och se vilken som har flest element. Det fungerar inte så bra för oändliga mängder då både mängderna får oändligt som svar. För ändliga mängder är ett alternativ att para ihop element: Om man kan para ihop elementen i mängderna så att det till varje element i den ena mängden svarar exakt ett element i den andra, och omvänt, så säger man att mängderna är lika stora. Det är så man kan säga att två mängder är lika stora. 

Om två mängder INTE är lika stora men man till varje element i den första mängden kan hitta ett element i den andra (det blir då en del element över i den andra mängden) så säger man att den första mängden är mindre än den andra.

Nu till din fråga: Nej, de komplexa talen är lika många som de irrationella talen. Det visar man genom att hitta en ihopparning som ovan (eller med hjälp av någon sats som visar att det finns en sådan ihopparning). De irrationella talen är fler än de rationella talen, vilket du nog redan kände till.

Hur kan man få större oändligheter? Det enklast sättet är att titta på potensmängden. Om A är en mängd, så betecknar vi potensmängden med P(A) och den består av alla A:s delmängder (inkl A själv och tomma mängden). Man kan visa att potensmängden alltid är större än A själv.

Så bildar man B=P (irrationella talen) får man en ännu större mängd, och P(B) blir ännu större, …

Så kan man alltså bilda oändligt många oändligheter, lika många som de naturliga talen. Men det finns flera, många fler, oändligheter.

Nu blir det lite mer komplicerat. Man kan inte bilda någon mängd av alla mängder, de är för många. I mängdläran har man bestämt att för att något ska kallas mängd så ska man (i princip) kunna avgöra om ett element tillhör mängden eller inte. Om man skulle kunna bilda en mängd av alla mängder så skulle man också kunna bilda mängden av alla mängder som inte innehåller sig själva, men det leder till en paradox (ofta sedd i variationen av en barberare som rakar precis de som inte rakar sig själv; vem rakar barberaren?).

(Man säger att alla mängder bildar en klass.) Man kan nu visa att om vi tar alla olika oändligheter så är de för många för att bilda en mängd, och det finns alltså fler oändligheter än element i vilken som helst mängd.

Vill du lära dig mer får du läsa om kardinalitet (cardinality på engelska). Det finns säkert en hel del på nätet, och förstås i böcker. / Anders Björn, bitr. professor


Vad är definitionen för ett femsiffrigt tal? I en mattebok för årskurs 5 läste jag frågan: "Vilket är det näst lägsta femsiffriga talet?" Rätt svar skulle enligt facit vara 10001, men om definitionen för ett femsiffrigt tal är att det ska innehålla exakt fem siffror så kommer decimaltalen också in i bilden. Rätt svar kanske egentligen borde vara 0,0002? Men då har vi inte tagit hänsyn till de negativa talen. Är kanske -99998 det näst lägsta femsiffriga talet? / Martin


Precis som du skriver beror svaret på problemet på vilka tal man menar. Det beror alltså på om man bara tillåter positiva heltal, om man dessutom tillåter negativa heltal eller om man till och med tillåter decimaltal. Det verkar som om läroboksförfattaren har tänkt på positiva heltal. Man kan hoppas på att lärarna är så observanta att de inser att problemet inte är helt precist formulerat och uppmuntrar diskussioner i klasserna. / Bengt Ove Turesson


Fem personer skulle handla i en affär. Utanför affären fanns 5 parkeringsplatser. En av personerna sa till de andra: Ska vi testa och se på hur många olika sätt vi kan parkera våra bilar på? På hur många olika sätt kunde de parkera sina bilar?
Antag att personerna är A, B, C, D och E och att de parkerar bilarna till exempel i bokstavsordning. A har då 5 platser att välja på. För varje val av parkeringsplats, som A gör, har B 4 platser att välja på. Detta innebär att A och B kan parkera sina bilar på 5x4 sätt. Fortsätt nu på samma sätt: C kan parkera sin bil på 3 sätt efter att A och B har parkerat, D kan parkera sin bil på 2 sätt efter att A, B och C har parkerat och till sist kan E parkera sin bil på bara 1 sätt efter att de andra har parkerat.


Det finns därför 5x4x3x2x1 = 120 (=5!) sätt att parkera bilarna. / Bengt-Ove Turesson, universitetslektor i matematik


Varför ger fler stickprov en minskad felmarginal?

När man vill uppskatta något gör man det ofta med medelvärdet. Man kan visa att variansen för medelvärdet (vilket är ett mått på spridningen hos din data) minskar med antalet observationer i ditt stickprov. Detta gör alltså att när du har fler observationer i ditt stickprov, minskar variansen och du får en säkrare uppskattning dvs en minskad felmarginal. / Martin Singull, universitetslektor i matematisk statistik


Kan man på ett enkelt sätt visa vad som är störst av 100^99 eller 99^100?

Jag kommer att visa att 100^99<99^100. detta="" följer="" av="" att="">=3. Lite enkel algebra visar att den sista olikheten är ekvivalent med att ((1+1/n)^n)(1/n)<1 för="" n="">=3. Att den sista olikheten är sann beror på att (1+1/n)^n<><3 för="" n="">=1, vilket man brukar visa i den första analyskursen på universitetet. / Bengt-Ove Turesson, universitetslektor i matematik
 

Jag sysslar mycket med sportspel och sitter och försöker räkna ut sannolikheter i %. Min fråga är enligt följande: Vad är sannolikheten att du skall förlora fyra gånger i rad om du spelar på ett objekt som har 35% chans att förlora?

Du har altid 35% chans att förlora varje gång men vad sjunker % satsen till att du skall förlora fyra gånger i rad och hur ser den matematiska formeln ut.
Om spelen är oberoende av varandra, och sannolikheten att förlora ett visst spel är p (lika för alla spel), så är sannolikheten att förlora n spel i rad lika med p^n. 

I detta fall, med p=0.35 och n=4, fås p^n=0.01500625, dvs 1.500625%. / Torkel Erhardsson, universitetslektor i matematik


När började matematiken ? / Caroline
 

Hej Caroline och tack för din intresseväckande och svåra fråga ! Det finns bl.a upphittade vargben med inristade skåror, som kanske räknar dödade villebråd, som är mer än 30.000 år gamla men vi vet inget mer om matematiken i den kultur som utförde detta. För att få kunskap om tidig matematik får vi vända oss till kulturer som hade ett skriftspråk och som därför lämnat dokument efter sig som vi nu kan studera. De äldsta skriftspråken är den sumeriska kilskriften och den fornegyptiska hieroglyfskriften och de är ca 5500 år gamla.

Dokument som beskriver mycket gammal matematik i kilskrift finner vi på lertavlor som påträffats kring floderna Eufrat och Tigris i nuvarande Irak. Matematiken på dessa lertavlor tar upp både geometriska och talteoretiska problem som är av intresse än i dag. Denna kulturs matematik brukar lite slarvigt kallas "babylonsk matematik". Den äldsta kända egyptiska matematiken finns på ett antal papyrusrullar ca 4000 år gamla, som bevarats i Egyptens torra klimat och som finns bevarade i dag på museer, t.ex på British Museum i London där de kan beskådas i en monter. Dessa rullar ställer och löser en mängd problem av både praktisk och teoretisk natur. Om du har tillgång till internet kan du hitta väldigt mycket information om allt detta genom en enkel sökning på bl. a. Rhindpapyrusen eller Babylonsk matematik. / Olle Axling, universitetslektor i matematik


En lite bisarr fråga. Om man kör en galen variant av rysk roulett, där man börjar med att skjuta med 5/6 skott i pistolen, tar ut en så det är 4/6, sedan 3, 2, 1. Hur stor är sannolikheten att man överlever? =)

Jag antar att man spelar med en revolver med möjlighet att placera sex kulor totalt (en pistol vet jag inte hur man skulle spela rysk roulette med) och att personen som spelar snurrar tillräckligt ordentligt och slumpmässigt så att alla försök är oberoende. Sannolikheten att överleva första skottet är då 1/6, andra skottet 2/6, tredje skottet 3/6 o.s.v. Resultatet av skotten är oberoende av varandra och därför får vi sannolikheten att överleva hela vansinnesspelet genom att multiplicera dessa sannolikheter, d.v.s. 1/6 * 2/6 * 3/6 * 4/6 * 5/6=5/324 eller ca 1,5 %. / Svante Linusson professor på matematiska institutionen vid Linköpings universitet


Detta är en fråga vi har diskuterat en hel del vänner emellan och nu känner jag ett starkt behov av att få svaret utrett. Spelledaren förbereder sig genom att lägga tre spelkort (två kungar och ett ess) upp och ner på ett bord. Sedan kallar han in dig och berättar för dig att din uppgift är att hitta esset. Först väljer du ett kort. När detta är gjort kommer spelledaren att ta bort ett av de två korten du inte valt (som självklart inte är ett ess). Nu frågar han dig om du vill byta till det andra kortet som nu finns kvar eller behålla ditt första val.

Vi är i stort sett alla överrens om att man skall byta i det läget men vi undrar om den enkla förklaringen att man först har 1/3 chans och sen när ett kort är borta så har man 1/2 inte är fullständigt. Eller? Ibland hör man samma exempel men med 1000 lådor istället för 3 spelkort.


Det stämmer att man skall byta. Precis som frågeställaren själv konstaterar så har sannolikheterna ändrats då spelledaren tillför ny information genom att ta bort en nitlott. Dock inte på det sätt som antyds. Den nya information som man har fått av att en nitlott har plockats bort har inte påverkat sannolikheten att man gissade rätt från början som fortfarande är 1/3. Sannolikheten att något av de andra två korten var esset är från början 2/3. Det som har ändrats är att de två korten man inte pekade på har blivit ett och att sannolikheten att detta enda kort är esset är alltså 2/3 efter att nitlotten tagits bort. 2 gånger av 3 tjänar man alltså på att byta. 

Observera att det är avgörande för resonemanget att spelledaren vet hur korten ligger och alltid plockar bort en nitlott. Om spelledaren plockade bort kortet utan att veta att det var en nitlott så tillförs ju inte information på samma sätt. 

Att gå över till 1000 spelkort istället för 3, där spelledaren tar bort 998 nitlotter istället för 1 är ett sätt att försöka göra det mer intuitivt klart att det är bra att byta. Nu tjänar man på det 999 gånger av 1000. Frågan var mycket het i USA för ca 15 år sedan där det fanns ett TV-program med 3 dörrar med en bil och två getter bakom. Och programledaren öppnade en dörr med en get efter att den spelande hade gissat precis som ovan. En het debatt utbröt om de spelande skulle byta eller inte. / Svante Linusson professor på matematiska institutionen vid Linköpings universitet

Nyheter matematik

Forskning matematik

Fråga mer