Algebraiska aspekter av geometri
Vi är vana att tänka på geometriska objekt som en konkret delmängd av det tredimensionella rummet; t ex linjer, cirklar och sfärer. Dessa objekt studeras vanligtvis som en samling av punkter för vilka man kan använda sig av mer eller mindre avancerade verktyg för studera deras struktur. Till exempel så kan man mäta avståndet mellan två punkter eller studera hur mycket en kurva kröker sig i rummet.
Det är kanske mindre känt för många att den finns en komplementär beskrivning, som lägger fokus på funktioner från objektet till de reella (eller komplexa) talen. Det är kanske något överraskande att om man känner till alla sådana funktioner, så bestämmer det faktiskt i många fall hur det geometriska objektet ser ut. Dessa funktioner bildar en algebra (dvs man kan addera och multiplicera funktioner och få en ny funktion), och det är möjligt att hitta en algebraisk beskrivning av de flesta geometriska begrepp och storheter.
Det ovanstående öppnar upp för en mer algebraisk syn på geometri. Spelar det roll att den algebra man undersöker kommer från ett geometriskt objekt? Kan vi studera "geometri" ändå? Vi vänder på problemet och frågar oss om det går att associera ett geometriskt objekt till varje algebra? Algebraisk geometri är ett ämnesområde som studerar dessa frågeställningar, och under 1900-talet har det skett en fantastisk utveckling som har lett till många kraftfulla matematiska verktyg och resultat.
Icke-kommutativ geometri
A Penrose tiling with rhombi exhibiting fivefold symmetry.Det finns geometriska objekt för vilka man inte kan hitta tillräckligt många intressanta funktioner för att kunna säga något användbart om objektet. Det visar sig dock att om man tillåter funktionerna att vara operatorvärda istället för reellvärda så öppnar sig en ny värld där det finns större möjligheter att studera objektets struktur. Detta "trick" har sitt pris: multiplikation av funktioner är inte längre kommutativt, dvs att ordningen i vilken man multiplicerar funktionerna spelar roll. Detta kommer sig av att multiplikation av operatorer har denna egenskap. Resultatet är att man måste försöka förstå en geometri som är "icke-kommutativ". Det kanske är överraskande att man över huvud taget kan studera icke-kommutativa algebror med ett geometriskt angreppssätt, men i själva verket går det att formulera en hel del av den klassiska geometrin för icke-kommutativa algebror. Till exempel så har man i så kallade C*-algebror hittat en mycket kraftfull generalisering av topologi till icke-kommutativa algebror, som har många tillämpningar inom matematiken.
Kvantgravitation
Deformation of spacetime caused by a planetary mass.
Icke-kommutativ geometri har en central roll då man försöker närma sig en teori för kvantgravation - en helig graal inom teoretisk fysik. Sedan intåget av kvantmekaniken (som beskriver de fundamentala krafterna) och den allmänna relativitetsteorin (som beskriver gravitationskraften) för mer än hundra år sedan, har forskare försökt förena dessa två teorier i en teori för kvantgravitation. Även om det inte finns någon fullständig teori än, så är de flesta fysiker överens om att rum-tiden blir icke-kommutativ på små avstånd. För att i grunden förstå kvantgravitation krävs således en förståelse av icke-kommutativ geometri.
Riemanngeometri
I allmän relativitetsteori beskrivs gravitationen i termer av en metrik på rumtiden. Den matematik som används för att förstå sådana objekt är differentialgeometri, och mer specifikt Riemanngeometri. Om rum-tiden verkligen är icke-kommutativ, så kräver varje teori för kvantgravitation en djup förståelse av de metriska aspekterna av icke-kommutativ geometri.
Mer information
Är du intresserad av att veta mer om icke-kommutativ geometri och vilka möjligheter det finns till kandidatarbete, exjobb eller doktorandprojekt? Kontakta Joakim Arnlind för mer information.
