Algebraiska aspekter av geometri

Vi är vana att tänka på geometriska objekt som en konkret delmängd av det tredimensionella rummet; t ex linjer, cirklar och sfärer. Dessa objekt studeras vanligtvis som en samling av punkter för vilka man kan använda sig av mer eller mindre avancerade verktyg för studera deras struktur. Till exempel så kan man mäta avståndet mellan två punkter eller studera hur mycket en kurva kröker sig i rummet.

Det är kanske mindre känt för många att den finns en komplementär beskrivning, som lägger fokus på funktioner från objektet till de reella (eller komplexa) talen. Det är kanske något överraskande att om man känner till alla sådana funktioner, så bestämmer det faktiskt i många fall hur det geometriska objektet ser ut. Dessa funktioner bildar en algebra (dvs man kan addera och multiplicera funktioner och få en ny funktion), och det är möjligt att hitta en algebraisk beskrivning av de flesta geometriska begrepp och storheter.

Det ovanstående öppnar upp för en mer algebraisk syn på geometri. Spelar det roll att den algebra man undersöker kommer från ett geometriskt objekt? Kan vi studera "geometri" ändå? Vi vänder på problemet och frågar oss om det går att associera ett geometriskt objekt till varje algebra? Algebraisk geometri är ett ämnesområde som studerar dessa frågeställningar, och under 1900-talet har det skett en fantastisk utveckling som har lett till många kraftfulla matematiska verktyg och resultat.

Det finns geometriska objekt för vilka man inte kan hitta tillräckligt många intressanta funktioner för att kunna säga något användbart om objektet. Det visar sig dock att om man tillåter funktionerna att vara operatorvärda istället för reellvärda så öppnar sig en ny värld där det finns större möjligheter att studera objektets struktur. Detta "trick" har sitt pris: multiplikation av funktioner är inte längre kommutativt, dvs att ordningen i vilken man multiplicerar funktionerna spelar roll. Detta kommer sig av att multiplikation av operatorer har denna egenskap. Resultatet är att man måste försöka förstå en geometri som är "icke-kommutativ". Det kanske är överraskande att man över huvud taget kan studera icke-kommutativa algebror med ett geometriskt angreppssätt, men i själva verket går det att formulera en hel del av den klassiska geometrin för icke-kommutativa algebror. Till exempel så har man i så kallade C*-algebror hittat en mycket kraftfull generalisering av topologi till icke-kommutativa algebror, som har många tillämpningar inom matematiken.

Workshop

Preprints

Riemannian curvature of the noncommutative 3-sphere via pseudo-Riemannian calculi
J. Arnlind and M. Wilson. arXiv:1505.07330, 2015.

An axiomatic approach to gradients with applications to Dirichlet and obstacle problems beyond function spaces
J. Arnlind, A. Björn and J. Björn. arXiv:1501.06696, 2015.

Classical mechanics of minimal tori in S3
J. Arnlind, J. Choe and J. Hoppe. arXiv:1307.2255, 2013.

Noncommutative Minimal Surfaces
J. Arnlind, J. Choe and J. Hoppe. arXiv:1301.0757, 2013.

On the geometry of Kähler-Poisson structures
J. Arnlind and G. Huisken. arXiv:1103.5862, 2011.

On the classical geometry of embedded manifolds in terms of Nambu brackets
J. Arnlind, J. Hoppe and G. Huisken. arXiv:1003.5981, 2010.

Discrete curvature and the Gauss-Bonnet theorem
J. Arnlind, J. Hoppe and G. Huisken. arXiv:1001.2223, 2010.

On the classical geometry of embedded surfaces in terms of Poisson brackets
J. Arnlind, J. Hoppe and G. Huisken. arXiv:1001.1604, 2010.

Classical Solutions in the BMN Matrix Model
J. Arnlind and J. Hoppe. hep-th/0312166, 2003.

More Membrane Matrix Model Solutions, and Minimal Surfaces in S7
J. Arnlind and J. Hoppe. hep-th/0312062, 2003.

Publikationer

2018

Joakim Arnlind, Christoffer Holm

A noncommutative catenoid

Ingår i Letters in Mathematical Physics

Artikel i tidskrift

2017

Joakim Arnlind, Mitsuru Wilson

On the Chern-Gauss-Bonnet theorem for the noncommutative 4-sphere

Ingår i JOURNAL OF GEOMETRY AND PHYSICS

Artikel i tidskrift

Joakim Arnlind, Mitsuru Wilson

Riemannian curvature of the noncommutative 3-sphere

Ingår i Journal of Noncommutative Geometry

Artikel i tidskrift

2016

Joakim Arnlind, Jaigyoung Choe, Jens Hoppe

Noncommutative Minimal Surfaces

Ingår i Letters in Mathematical Physics

Artikel i tidskrift

Joakim Arnlind, Anders Björn, Jana Björn

An axiomatic approach to gradients with applications to Dirichlet and obstacle problems beyond function spaces

Ingår i Nonlinear Analysis

Artikel i tidskrift

2014

Joakim Arnlind, Abdennour Kitouni, Abdenacer Makhlouf, Sergei Silvestrov

Structure and Cohomology of 3-Lie Algebras Induced by Lie Algebras

Ingår i ALGEBRA, GEOMETRY AND MATHEMATICAL PHYSICS (AGMP)

Konferensbidrag

Joakim Arnlind, Gerhard Huisken

Pseudo-Riemannian Geometry in Terms of Multi-Linear Brackets

Ingår i Letters in Mathematical Physics

Artikel i tidskrift

CV

CV

  • Docent, 2014
  • Doktorsexamen, 2008
  • Civilingenjör i Teknisk fysik, 2002


Uppdrag

  • Proprefekt på Matematiska instituionen
  • Samverkanskoordinator på Matematiska institutionen
  • Huvudhandledare för Ahmed Al-Shujary
  • Bihandledare för Marcus Kardell
  • Member of management committe of COST action QSPACE