Fotografi av Joakim Arnlind

Joakim Arnlind

Prefekt, Professor

Min forskning rör frågor kring algebraiska aspekter av geometri. I synnerhet arbetar jag med att förstå begreppet krökning för icke-kommuativa geometrier och Poissonalgebror.

Algebraiska aspekter av geometri

Vi är vana att tänka på geometriska objekt som en konkret delmängd av det tredimensionella rummet; t ex linjer, cirklar och sfärer. Dessa objekt studeras vanligtvis som en samling av punkter för vilka man kan använda sig av mer eller mindre avancerade verktyg för studera deras struktur. Till exempel så kan man mäta avståndet mellan två punkter eller studera hur mycket en kurva kröker sig i rummet.

Det är kanske mindre känt för många att den finns en komplementär beskrivning, som lägger fokus på funktioner från objektet till de reella (eller komplexa) talen. Det är kanske något överraskande att om man känner till alla sådana funktioner, så bestämmer det faktiskt i många fall hur det geometriska objektet ser ut. Dessa funktioner bildar en algebra (dvs man kan addera och multiplicera funktioner och få en ny funktion), och det är möjligt att hitta en algebraisk beskrivning av de flesta geometriska begrepp och storheter.

Det ovanstående öppnar upp för en mer algebraisk syn på geometri. Spelar det roll att den algebra man undersöker kommer från ett geometriskt objekt? Kan vi studera "geometri" ändå? Vi vänder på problemet och frågar oss om det går att associera ett geometriskt objekt till varje algebra? Algebraisk geometri är ett ämnesområde som studerar dessa frågeställningar, och under 1900-talet har det skett en fantastisk utveckling som har lett till många kraftfulla matematiska verktyg och resultat.

Det finns geometriska objekt för vilka man inte kan hitta tillräckligt många intressanta funktioner för att kunna säga något användbart om objektet. Det visar sig dock att om man tillåter funktionerna att vara operatorvärda istället för reellvärda så öppnar sig en ny värld där det finns större möjligheter att studera objektets struktur. Detta "trick" har sitt pris: multiplikation av funktioner är inte längre kommutativt, dvs att ordningen i vilken man multiplicerar funktionerna spelar roll. Detta kommer sig av att multiplikation av operatorer har denna egenskap. Resultatet är att man måste försöka förstå en geometri som är "icke-kommutativ". Det kanske är överraskande att man över huvud taget kan studera icke-kommutativa algebror med ett geometriskt angreppssätt, men i själva verket går det att formulera en hel del av den klassiska geometrin för icke-kommutativa algebror. Till exempel så har man i så kallade C*-algebror hittat en mycket kraftfull generalisering av topologi till icke-kommutativa algebror, som har många tillämpningar inom matematiken.

Populärvetenskapligt om icke-kommutativ geometri

Sedan början av 1900-talet har fysiker försökt sammanföra de två framgångsrika teorierna kvantmekanik och relativitetsteori. Hur det ska göras är en öppen fråga, men vi måste förmodligen ändra vår syn på rum och tid helt och införa så kallad icke-kommutativ geometri.

Under Populärvetenskapliga veckan 2019 på Linköpings universitet gav jag en föreläsning om ämnet under rubriken "Matematik och universums innersta struktur". Föreläsningen finns att se nedan via UR Play (Utbildningsradion) för den som är intresserad.

Forskning

Medarbetare på Matematiska institutionen

Workshops

Preprints

On q-deformed Levi-Civita connections
J. Arnlind, K. Ilwale, G. Landi. arXiv:2005.02603, 2020.

Noncommutative minimal embeddings and morphisms of pseudo-Riemannian calculi
J. Arnlind, A. Nordkvist. arXiv:1307.2255, 2020.

Classical mechanics of minimal tori in S3
J. Arnlind, J. Choe och J. Hoppe. arXiv:1307.2255, 2013. 

On the geometry of Kähler-Poisson structures
J. Arnlind och G. Huisken. arXiv:1103.5862, 2011.

On the classical geometry of embedded manifolds in terms of Nambu brackets
J. Arnlind, J. Hoppe och G. Huisken. arXiv:1003.5981, 2010.

Discrete curvature and the Gauss-Bonnet theorem
J. Arnlind, J. Hoppe och G. Huisken. arXiv:1001.2223, 2010.

On the classical geometry of embedded surfaces in terms of Poisson brackets
J. Arnlind, J. Hoppe och G. Huisken. arXiv:1001.1604, 2010.

Classical Solutions in the BMN Matrix Model
J. Arnlind och J. Hoppe. hep-th/0312166, 2003.

More Membrane Matrix Model Solutions, and Minimal Surfaces in S7
J. Arnlind och J. Hoppe. hep-th/0312062, 2003.

 

Publikationer

2024

Joakim Arnlind (2024) Noncommutative Riemannian geometry of Kronecker algebras Journal of Geometry and Physics, Vol. 199, Artikel 105145 (Artikel i tidskrift) Vidare till DOI

2023

Joakim Arnlind, Andreas Sykora (2023) On the construction of fuzzy spaces and modules over shift algebras Advances in Theoretical and Mathematical Physics, Vol. 27, s. 1223-1274 (Artikel i tidskrift) Vidare till DOI

2022

Joakim Arnlind, Kwalombota Ilwale, Giovanni Landi (2022) Levi-Civita Connections on Quantum Spheres Mathematical physics, analysis and geometry, Vol. 25, Artikel 19 (Artikel i tidskrift) Vidare till DOI

2021

Joakim Arnlind (2021) Levi-Civita connections for a class of noncommutative minimal surfaces International Journal of Geometric Methods in Modern Physics (IJGMMP), Vol. 18, Artikel 2150194 (Artikel i tidskrift) Vidare till DOI
Joakim Arnlind, Axel Tiger Norkvist (2021) Noncommutative minimal embeddings and morphisms of pseudo-Riemannian calculi Journal of Geometry and Physics, Vol. 159, Artikel 103898 (Artikel i tidskrift) Vidare till DOI

2020

Joakim Arnlind, Giovanni Landi (2020) Projections, modules and connections for the noncommutative cylinder Advances in Theoretical and Mathematical Physics, Vol. 24, s. 527-562 (Artikel i tidskrift) Vidare till DOI
Joakim Arnlind (2020) Low Dimensional Matrix Representations for Noncommutative Surfaces of Arbitrary Genus Mathematical physics, analysis and geometry, Vol. 23, Artikel 12 (Artikel i tidskrift) Vidare till DOI

CV

CV

  • Docent, 2014
  • Doktorsexamen, 2008
  • Civilingenjör i Teknisk fysik, 2002


Uppdrag

  • Prefekt på Matematiska institutionen
  • Huvudhandledare för Axel Tiger Norkvist
  • Huvudhandledare för Kwalombota Ilwale

Organisation