Inversa och illaställda problem

De flesta matematiska problem som studeras inom teknik, eller fysik, är välställda. Det betyder att de har en entydig lösning som dessutom beror kontinuerligt på indata. Innehåller data ett litet mätfel så ändras lösningen inte särskilt mycket. Är istället ett problem illa-ställt betyder det ofta att lösningen helt kan ändra karaktär på grund av ett mycket litet mätfel. Eftersom mätfel i praktiken är oundvikliga måste lösningsmetoden konstrueras på ett sådant sätt att man kan vara säker på att den lösning som beräknar är vettig.

Figur 1: Den tänkta mätsituationen där vi söker temperaturen på en yta och mätningar är tillgängliga inne i materialet.

Figur 1: Den tänkta mätsituationen där vi söker temperaturen på en yta och mätningar är tillgängliga inne i materialet.

Figur 2: Temperatur fördelning under markytan i Tibet beräknad utifrån mätningar på ytan. Vi ser även markytan och en modell över markens egenskaper.

Figur 2: Temperaturfördelning under markytan i Tibet beräknad utifrån mätningar på ytan. Vi ser även markytan och en modell över markens egenskaper.

En tillämpning är att man ibland vill uppskatta en tidsberoende temperatur på ytan av en kropp. Är ytan inte tillgänglig för direkta mätningar kan man istället mäta nära ytan och beräkna den sökta temperaturen genom att lösa ett illa-ställt problem.

Mätsituationen kan beskrivas som ett Cauchyproblem för värmeledningsekvationen där mätningar är tillgängliga vid x=1, och temperaturen söks vid x=0, se Figur 1. Tillämpningar finns inom flera vetenskapliga sammanhang. Inom geologi vill man uppskatta temperaturen flera kilometer under markytan genom att använda mätningar på, eller åtminstone nära, ytan. Här löser man ett stationärt värmeledningsproblem, med en icke-linjär modell, med hjälp av en effektiv numerisk metod som ger stabilitet i beräkningarna. Liknande tillämpningar finns inom stålindustrin där man vill studera i detalj vad som händer då man exempelvis värmebehandlar stålplattor och placerar mätpunkter inuti materialet. 

Liknande tillämpningar finns för Helmholtz ekvation, som beskriver vågutbredning, där man vill lokalisera en ljudkälla givet mätningar en bit bort. Cauchyproblemet för Helmholtz ekvation är illa-ställt och speciella metoder krävs. Här studerar jag, i samarbete med andra forskare, en klass av metoder som bygger på att en viss kvadratisk form kan göras positivt definit genom att en artificiell rand introduceras, se Figur 3. Vi får då ett sätt att introducera en skalärprodukt, som är naturlig för problemet, och som gör det möjligt att implementera effektiva iterativa regulariseringsmetoder.


Figur 3: Vi söker lösningen till Helmholtz ekvation på en del av randen givet Cauchydata på en annan del av randen. Den kvadratiska formen blir positivt definit om vi inför artificiella inre ränder enligt exemplen.

Programverktyg
Visa/dölj innehåll

Programverktyg för att lösa the Sideways Heat Equation

Flera MATLAB-rutiner har skrivits för att lösa the Sideways Heat Equation. Dessa rutiner är skrivna för att testa idéer, och mestadels för användning inom vår forskningsgrupp. Men det mesta av koden är ganska lätt att förstå och online-dokumentationen är sådan att koden ska kunna användas med ett minimum av problem. I synnerhet finns det flera demonstrationer som syftar till att visa hur programmen ska användas. Det finns också ett exempel där verktygen tillämpas på ett problem med faktiska uppmätta data.

  • En fullständig lista över alla program som är skrivna för att lösa the Sideways Heat Equation finns tillgänglig. [Contents.m]
  • Källkoden för alla program. Endast tillgänglig som komprimerat tararkiv. [Shetools.tar.gz]

Kontakt
Visa/dölj innehåll