Figur 1: Den tänkta mätsituationen där vi söker temperaturen på en yta och mätningar är tillgängliga inne i materialet.
Figur 2: Temperaturfördelning under markytan i Tibet beräknad utifrån mätningar på ytan. Vi ser även markytan och en modell över markens egenskaper.
En tillämpning är att man ibland vill uppskatta en tidsberoende temperatur på ytan av en kropp. Är ytan inte tillgänglig för direkta mätningar kan man istället mäta nära ytan och beräkna den sökta temperaturen genom att lösa ett illa-ställt problem.
Mätsituationen kan beskrivas som ett Cauchyproblem för värmeledningsekvationen där mätningar är tillgängliga vid x=1, och temperaturen söks vid x=0, se Figur 1. Tillämpningar finns inom flera vetenskapliga sammanhang. Inom geologi vill man uppskatta temperaturen flera kilometer under markytan genom att använda mätningar på, eller åtminstone nära, ytan. Här löser man ett stationärt värmeledningsproblem, med en icke-linjär modell, med hjälp av en effektiv numerisk metod som ger stabilitet i beräkningarna. Liknande tillämpningar finns inom stålindustrin där man vill studera i detalj vad som händer då man exempelvis värmebehandlar stålplattor och placerar mätpunkter inuti materialet.
Liknande tillämpningar finns för Helmholtz ekvation, som beskriver vågutbredning, där man vill lokalisera en ljudkälla givet mätningar en bit bort. Cauchyproblemet för Helmholtz ekvation är illa-ställt och speciella metoder krävs. Här studerar jag, i samarbete med andra forskare, en klass av metoder som bygger på att en viss kvadratisk form kan göras positivt definit genom att en artificiell rand introduceras, se Figur 3. Vi får då ett sätt att introducera en skalärprodukt, som är naturlig för problemet, och som gör det möjligt att implementera effektiva iterativa regulariseringsmetoder.
Figur 3: Vi söker lösningen till Helmholtz ekvation på en del av randen givet Cauchydata på en annan del av randen. Den kvadratiska formen blir positivt definit om vi inför artificiella inre ränder enligt exemplen.
