Representationsteori för associativa algebror
Representationsteori för associativa algebror behandlar hur abstrakta algebraiska strukturer, såsom ringar och algebror, kan beskrivas med hjälp av matriser som verkar på vektorrum. Genom att tolka algebraelement som linjära avbildningar blir det möjligt att studera dem med verktyg från linjär algebra.
Att formulera problemen i matrisform underlättar analysen av symmetrier, ekvationslösning och modellering av olika typer av system, till exempel inom fysik och datavetenskap. Bland de metoder som används återfinns homologiska tekniker, koger och Auslander-Reiten-teori, vilka används för att analysera sambanden mellan moduler. Ämnet förenar linjär algebra, modulteori och kategoriteori, och har starka kopplingar till algebraisk geometri och delar av fysiken.
Vår forskning rör bland annat representationsteori för självinjektiva algebror och Frobeniusalgebror, högredimensionell Auslander-Reitenteori samt klusterkategorier och klustertiltningteori.
Representationsteori för Liealgebror
Representationsteori för Liealgebror fokuserar på konstruktion och klassificering av moduler över Liealgebror och relaterade strukturer. Det handlar ofta om oändligdimensionella representationer, vilka förekommer inom till exempel matematisk fysik och algebraisk geometri. Vi undersöker hur dessa moduler är uppbyggda, hur de relaterar till enklare komponenter och hur deras struktur speglar egenskaper hos den underliggande algebran.
Icke-associativ algebra
Icke-associativ algebra omfattar studiet av strukturer där den associativa lagen $(ab)c=a(bc)$ inte gäller. Ett forskningsområde är tillämpningen av sådana algebror på ordinära och partiella differentialekvationer, differentialgeometri och populationsgenetik. De strukturer som förekommer i dessa sammanhang är ofta kommutativa men inte associativa, och tillhör inte nödvändigtvis de klassiska typerna såsom Lie-, Jordan- eller alternativa algebror.
Ett exempel är genetiska algebror, där idempotenta element kan ses som formella beskrivningar av populationer i jämvikt, medan multiplikation representerar fördelningen i nästa generation vid genetisk rekombination. Egenskaper hos dessa idempotenter, deras Peirce-dekompositioner samt tillhörande fusionslagar utgör centrala delar i analysen.
