Iterativa metoder
Iterativa metoder för att lösa illaställda initial- och randvärdesproblem för partiella differentialekvationer av elliptisk, parabolisk och hyperbolisk typ. En klass av sådana metoder föreslogs av V. Kozlov och V. Maz'ya i 1989, och deras viktigaste egenskap är den följande.
I varje iterationssteg löser man ett välställt problem för samma ekvation som kan lösas med hjälp av vanliga numeriska paket. Regulariseringskaraktären hos metoden kommer från ett lämpligt val av randvillkor. Därefter utvecklades flera algoritmer av detta slag vilka tillämpats på Cauchy-problem för Helmholtz ekvation liksom för Stokes- och Lamé-system.
Framför allt visade det sig att man kan betydligt förbättra och i många fall återställa konvergensen av den iterativa Kozlov-Maz'ya-metoden genom att ersätta Dirichlet-Neumann iterationer med Dirichlet-Robin iterationer (särskilt för ekvationer av Helmholtz-typ). Numeriska experiment visar att dessa algoritmer också kan tillämpas på icke-linjära problem som exempelvis uppstår i glaciologi.
Dataassimileringsproblem
En annan viktig klass av problem är dataassimileringsproblem, där några okända områden eller koefficienter måste rekonstrueras med hjälp av tillgänglig information om problemet; i synnerhet för att rekonstruera koefficienter hos en partiell differentialekvation och motsvarande randvillkor från vissa mätningar. Det senare problemet har en viktig roll i den matematiska modelleringen av det mänskliga blodcirkulationssystemet. Till exempel är det svårt att spåra värdena på koefficienterna för de slutliga ekvationerna från de kända parametrarna i matematisk modellering av blodcirkulationssystemet. En annan metod för att finna dessa koefficienter är att återställa dem från vissa mätningar med hjälp av en matematisk modell som beskriver blodflöde i blodcirkulationssystemet.
