Differentialekvationer och analys på metriska rum

Icke-linjära problem och kvasiminimerare

I modellering och simulering av verkligheten används ofta linjära modeller då de är mycket enklare att hantera än ickelinjära. Men fenomenen som studeras beskrivs ofta bättre av mer komplicerade ickelinjära ekvationer. Det enklaste exemplet är kanske den ickelinjära p-Laplaceekvationen som minimerar energin som fås genom att integrera p-potensen av gradienten, det vill säga en "flerdimensionell derivata". p-Laplaceekvationen beskriver till exempel flöden i icke-Newtonska vätskor, såsom ketchup, glaciärer och plast. Man kan till exempel räkna ut hur plasten sprids vid formsprutning av plastföremål (och på så sätt bestämma hur gjutformen skall utformas) eller förutse glaciärers flöde.

Vissa tillämpningar kräver ännu allmännare minimeringsproblem där energin mäts på andra sätt än genom en integral. Vi studerar också kvasiminimerare som "nästan" minimerar energin och har en intressant robusthet som kan vara användbar vid simuleringar. Vårt fokus är på de grundläggande matematiska frågeställningarna, men god teoretisk förståelse är nödvändig för att kunna göra relevanta och användbara modelleringar och för framgångsrika framtida tillämpningar.

Randvärdesproblem på komplicerade områden

I det så kallade Dirichletproblemet söker man lösningar till olika ekvationer med givna randvärden. Vi studerar bland annat hur små ändringar av randvärden och andra ingående parametrar påverkar lösningarna. Eftersom många fenomen bara kan mätas på ytan, ger detta oss bättre kunskaper om vad som händer inne i materialet. Vi är speciellt intresserade av situationer med komplicerad struktur och oregelbundna förutsättningar. Till exempel kan materialet (plasten/glaciären) innehålla sprickor vars sidor inte kommunicerar med varandra och lösningarna kan därför bete sig väldigt olika där. På samma sätt kan vissa delar av randen vara svåråtkomliga och vi visar att de därmed har liten, eller ingen, påverkan på lösningarna. I så fall kan randvärdena på dessa delar av randen anses vara försumbara.

Metriska rum utan riktningar

För att angripa ovan nämnda situationer och kunna lösa Dirichletproblemet med väldigt allmänna (till exempel icke-kontinuerliga) randvärden, vill vi kunna se randen på olika sätt och beskriva dessa fenomen matematiskt. Detta kan göras genom att "litegrann förvränga" avståndsmätningar runt randen, samtidigt som den minimerade energin och ekvationerna utanför förblir oförändrade (åtminstone lokalt). Det här angreppssättet kräver att vi betraktar differentialekvationer på ganska allmänna (så kallade metriska) rum där avståndet mellan två punkter alltid är definierat men inte riktningen som i vårt vanliga rum. Sådana rum kan vara väldigt oregelbundna och se ut som fraktaler (till exempel en eroderad bergsyta, en kustlinje eller en bakteriekoloni).

Eftersom riktningar saknas i dessa rum är derivator svårdefinierade och differentialekvationer betraktas oftast genom minimeringsproblem. Många differentialekvationer som tidigare har studerats på ytor, mångfalder, fraktaler och grafer kan inkluderas som specialfall i denna teori. På grund av avsaknad av slät struktur behövs ofta helt nya metoder och idéer som har visat sig vara användbara och som har lett till nya resultat även i vårt vanliga 3-dimensionella rum. De flesta problem som vi studerar är nämligen olösta även där och vi är lika intresserade av dem som av mer allmänna metriska rum.

Spår och samband mellan rum

Vissa metriska rum är lättare att studera än andra. För att utnyttja detta betraktar vi avbildningar mellan metriska rum med olika egenskaper. Ett exempel på en sådan avbildning är den stereografiska projektionen som avbildar det runda och ändligt stora jordklotet på det platta men oändliga planet.

För en fruktbar matematisk teori på sådana rum behöver man veta hur olika objekt transformeras av dessa avbildningar, exempelvis huruvida vissa geometriska och analytiska egenskaper bevaras eller om funktioner med visst beteende avbildas på funktioner med liknande eller andra egenskaper. Till exempel kan lösningar till en viss differentialekvation avbildas på lösningar till någon annan ekvation, som kanske är lättare att studera, vilket kan bidra till mer kunskap även om den ursprungliga ekvationen.

Vi studerar även sambandet mellan rum och deras ränder, som i sin tur är intressanta, ofta fraktala, objekt. Omvänt kan man till olika fraktaler skapa välartade rum vars rand motsvarar den ursprungliga fraktalen. Fraktaler är ofta svåra att studera, men deras analys underlättas om man ser dem inifrån det associerade välartade rummet. Vi är bland annat intresserade av att se när funktioner på randen har lämpliga utvidgningar till det omgivande rummet, och omvänt när funktioner i rummet har spår på den fraktala randen och hur spårens egenskaper beror på ursprungsfunktionerna. Sådant kallas spårsatser och spelar en viktig roll för bland annat randvärdesproblem för partiella differentialekvationer.

Förstärkning med en gästprofessor

Analys på metriska rum har genomgått en snabb utveckling under de senaste 25 åren och vår grupp har bidragit med en hel del resultat. Vi har bland annat skrivit en bok som från grunden utvecklar denna nya teori. Tidigare fanns resultaten i detta område bara utspridda i olika forskningsartiklar om de alls var publicerade.

Vår forskning har under tiden finansierats av Vetenskapsrådet genom ett antal projektbidrag. För åren 2017-18 erhöll vi också ett anslag på 1,5 miljoner kronor från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse för att bjuda in professor Nageswari Shanmugalingam, Cincinnati, som gästprofessor. Hon är en världsledande expert inom vårt forskningsområde, som vi länge har samarbetat med.

Att studera sönderbrutna rum - Nageswari Shanmugalingam, information på hemsidan för Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse.