Numerisk lösning av tidsberoende partiella differentialekvationer

Unstructured mesh around high lift configuration

Vi utvecklar högre ordningens stabila finita differensmetoder och analyserar och förbättrar randbehandlingen i finita volymsmetodiken. En annan verksamhet är utveckling av och implementering av randvillkor för Euler och Navier-Stoke's ekvationer. Framtida tillämpningar kommer att kräva behandling av kopplade multi-fysikproblem. Vi studerar välställdhet och stabilitet hos dessa kopplingsprocedurer. Vi studerar inflytandet av osäkerhet i data och parametervärden på den numeriska lösningen och siktar på att kunna leverera ett svar med en viss given felmarginal.

Samarbete och finansiering

Forskningen är gjord i samarbete med NASA Langley Research Center, Stanford University och Southern Methodist University i USA, och Council for Scientific and Industrial Research (CSIR) i Sydafrika, Totalförsvarets forskningsinstitut (FOI) och Sveriges meteorologiska och hydrologiska institut (SMHI) i Sverige.

Basfinansieringen är från Linköpings universitet och den externa forskningen är finansierad av Vetenskapsrådet, SMHI, och EU:s Seventh Framework Programme FP7 projekt Industrialisation of High-Order Methods - A Top-Down Approach (IDIHOM) och Uncertainty Management for Robust Industrial Design in Aeronautics (UMRIDA).

Vår ambition

Att utveckla matematiskt baserade och bevisat konvergenta metoder för att lösa tidsberoende partiella differentialekvationer gällande fysikaliska processer.

Huvudsakliga aktiviteter:

High Order Finite Difference Methods (FDM)

Vi har utvecklat summation-by-part-operatorer och straffmetoder för rand- och gränssnittsvillkor. Vi har tillämpat FDM på krävande problem inom strömningsmekanik och vågutbredning.

High speed separated flow including shocklets

High speed separated flow including shocklets

I samarbete med Flow Research Unit, University of the Witwatersrand.

 

Earthquake simulation related to Japananese tsunam

Earthquake simulation related to Japananese tsunam

I samarbete med Department of Geophysics, Stanford University.

Kontaktperson: Jan Nordström

 

Vi har utvecklat FDM för partiella differentialekvationer i tidsvarierande deformerade domäner. Som en tillämpning har ljudutbredning beskrivna av linjäriserade Euler-ekvationer i en tidsberoende domän behandlats.

A time varying deforming domain

A time varying deforming domain

 

The rate of dilatation

The rate of dilatation

Kontaktperson: Jan Nordström

 

Vi har utvecklat en metod för att konstruera finita differenser anpassade för periodiska vågutbredningsproblem. De resulterande stencilerna minimerar felet i våghastigheten som uppstår i den diskreta lösningen.

Comparison of pulse propagation between the new Remez stencils and other stencils in the literature

Comparison of pulse propagation between the new Remez stencils and other stencils in the literature


Pressure profile of propagating Euler vortex

Pressure profile of propagating Euler vortex

Kontaktperson: Viktor Linders

Finite Volume Methods (FVM)

Vi har återanvänt metodiken för högre ordningens finita differensmetoder och härlett summation-by-parts operatorer för första och andra derivator samt lämpliga artificiella dissipations operatorer.

Unstructured mesh around high lift configuration

Unstructured mesh around high lift configuration

I samarbete med FOI, Totalförsvarets forskningsinstitut.

 

Flow in the nose region of a Naca0012 wing profile

Flow in the nose region of a Naca0012 wing profile

I samarbete med FOI, Totalförsvarets forskningsinstitut.

Kontaktperson: Jan Nordström

Numerical Coupling

Vi kombinerar fördelarna med FDM och FVM på ett effektivt och stabilt sätt. Denna numeriska teknik har använts i både aerodynamik (Eulerekvationerna) och vågutbredningproblem (elastiska vågekvationer).

Unstructured/structured mesh around rods

Unstructured/structured mesh around rods

I samarbete med CTR, Center for Turbulence Research at Stanford University.

 

Unstructured/structured mesh around Landers fault

Unstructured/structured mesh around Landers fault

I samarbete med Department of Geophysics, Stanford University.

Kontaktperson: Jan Nordström

Multi Physics Coupling

Vi utvecklar välställda och stabila numeriska kopplingsförfaranden för system av partiella differentialekvationer. På senare tid har vi behandlat Navier-Stokes och värmeledningsekvationen, fluid-struktur interaktion och den elastiska vågekvationen med friktionslagar.

FSI, low accuracy misses eigenfrequency

FSI, low accuracy misses eigenfrequency

I samarbete med Institutionen för informationsteknologi, Uppsala universitet.

Conjugate heat transfer between air and gold

Conjugate heat transfer between air and gold

I samarbete med Institutionen för informationsteknologi, Uppsala universitet.

Kontaktperson: Jan Nordström

Boundary Conditions

Vi analyserar befintliga tekniker och härleder nya formuleringar. På senare tid har vi fokuserat på fast vägg randvillkor för Navier-Stokes ekvationer.

Navier-Stokes solution close to solid boundary

Navier-Stokes solution close to solid boundary

I samarbete med Institutionen för informationsteknologi, Uppsala universitet.

 

Weak enforcement of solid wall boundary conditions

Weak enforcement of solid wall boundary conditions

 

I samarbete med FOI, Totalförsvarets forskningsinstitut.

Kontaktperson: Jan Nordström

 

SAT-tekniken används i normalfallet för att implementera randvillkor med hjälp av så kallade straff-termer. Man kan även applicera straff-termer inuti domänen, om data är tillgänligt. Vi kallar denna teknik för multiple penalty technique (MPT). Med hjälp av denna teknik kan vi förbättra den numeriska lösningen och öka konvergenshastigheten.

En oscillerande puls som vi vill modellera. Övre vänster: t=0, övre höger: t=0.25, nedre vänster: t=0.75 nedre höger: t=1.15

 

En oscillerande puls som vi vill modellera

Felet som funktion av tiden med och utan MPT. Vi har använt ett nät med 80 gridpunkter i x-och y-led

Felet som funktion av tiden med och utan MPT.

Kontaktperson: Hannes Frenander

Unceartainty Quantification (UQ)

Vi tar hänsyn till olika typer av osäkerhet eller stokastiska variationer relaterade till aerodynamiska problem. Typiska exempel är stokastiska osäkerheter i geometrin av en vinge, hastigheten på flygplanet och anfallsvinkeln.

Unceartainty in density for the Sod test case approximated using Haar-wavelets

Unceartainty in density for the Sod test case approximated using Haar-wavelets

I samarbete med Uncertainty Quantification (UQ) Laboratory at Stanford University.

Unceartainty in density for the Sod test case, exact solution

Unceartainty in density for the Sod test case, exact solution

I samarbete med Uncertainty Quantification (UQ) Laboratory at Stanford University.

Kontaktperson: Jan Nordström

Fluid Mechanics of Vortices

Genom att använda energimetoden på de lineariserade kompressibla Navier-Stokes-ekvationerna kan vi visa varför energin i virvlar avtar sakta i viskösa flöden.

Velocity field in a vortex

Velocity field in a vortex

I samarbete med Institutionen för informationsteknologi, Uppsala universitet.

Energy deacy for different types of flowfields

Energy deacy for different types of flowfields

Kontaktperson: Jan Nordström

Propagation of nerv signals in living tissue

Genom att lösa kabelekvationen i kombination med Hodgkin-Huxley's ekvationer kan vi simulera hur nervsignaler sprids i de trädlika banorna.

Nerves and somas

Nerves and somas

I samarbete med Department of Aeronautics and Astronautics, Stanford University.

Sketch of a nerve connecting to a soma

Sketch of a nerve connecting to a soma

I samarbete med Department of Aeronautics and Astronautics, Stanford University.

Kontaktperson: Jan Nordström

Värmeledningsområdet

Inom industriella tillämpningar vill man ibland uppskatta temperaturen på svårtillgängliga ytor där temperaturen inte kan mätas direkt. Man placerar då ett mätelement inne i materialet och beräknar den sökta yttemperaturen från mätdata. Matematiskt beskrivs det som ett Cauchyproblem för värmeledningsekvationen med mätdata tillgängliga längs linjen x=L och lösningen vid x=0 efterfrågas. Situationen illustreras i Figur 1. Problemet är illaställt då små mätfel kan orsaka stora fel i den beräknade lösningen. Speciella regulariseringsmetoder används för att minimera inverkan av mätfel på beräknade lösningar. Liknande matematiska problem dyker upp i tillämpningar där matematisk analys används för att kompensera för felaktigheter orsakade av exempelvis mätapparatur.

Forskning bedrivs inom metodutveckling och matematisk analys av både tillämpningsproblem och numeriska metoder.

Illustration av sidledsvärmeledning

Figur 1. Illustration av sidledsvärmeledning. Mätningar vid x=L används för att beräkna temperaturen vid ytan x=0.

Kontaktperson: Fredrik Berntsson

Nyhetsartiklar

Kontakter

Medarbetare